Calcule os seguintes limites:
lim x 0(1+2 x)^x

Passo 1

O enunciado pede
limxto 0(1+2x)^x
Esse tipo de limite envolve uma expressão na forma “ 1^0”, que é uma indeterminação. Para resolver, vamos usar a transformação pelo logaritmo natural e, em seguida, propriedades de limites de funções elementares.

Passo 2

Defina
L = limxto 0(1+2x)^x
Como L>0, podemos tomar logaritmo e analisar
ln L = limxto 0 lnl((1+2x)^xr) = limxto 0 x,ln(1+2x)

Passo 3

Agora calculamos
limxto 0 x,ln(1+2x)
Usamos a expansão para x pequeno ou o limite padrão
ln(1+u)sim uquando uto 0,
aqui com u=2x. Logo
x,ln(1+2x)sim x,(2x)=2x^2,
e portanto
limxto 0 x,ln(1+2x)=limxto 02x^2=0

Passo 4

Voltando ao logaritmo, temos ln L=0. Assim
L = e^ln L = e^0 = 1

Resposta

limxto 0(1+2x)^x = 1

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