Calcule os seguintes limites:
lim x 0 raiz1+x-1x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrar o limite de raiz1+x - 1x quando x se aproxima de 0. Estamos trabalhando com Cálculo de Limites, mais especificamente com limites envolvendo funções radicais. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões e aplicar algumas propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão raiz1+x - 1x. Se tentarmos substituir x = 0 diretamente, teremos raiz1+0 - 10 = 1 - 10 = 00, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver limites que envolvem raízes é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de raiz1+x - 1 é raiz1+x + 1. Vamos fazer isso:
raiz1+x - 1x times raiz1+x + 1raiz1+x + 1

Passo 4

Multiplicando os numeradores e denominadores, temos:
Numerador:
(raiz1+x - 1)(raiz1+x + 1) = (raiz1+x)^2 - (1)^2 = (1+x) - 1 = x
Denominador:
x(raiz1+x + 1)
Então, a expressão simplificada fica:
xx(raiz1+x + 1) = 1raiz1+x + 1

Passo 5

Agora, podemos substituir x = 0 na expressão simplificada:
1raiz1+0 + 1 = 11 + 1 = 12

Resposta

O limite limx 0 raiz1+x - 1x é igual a 12.

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