Encontre a serie de Fourier
F(f)(x)=a02+sumn=1^infty(an cos (n piL x)+bn sin (n piL x))
Para as funções seguintes
f(x)=cc 1, & -L<x<0 0, & 0<x<L
com f(x+2 L)=f(x).

Passo 1

Estamos buscando a série de Fourier periódica de período 2L da função
f(x)= 1,&-L<x<0, 0,&0<x<L,
isto é,
F(f)(x) =a02 +sumn=1^inftyl(ancos!l(tfracnpiLxr) +bnsin!l(tfracnpiLxr)r)
Para isso vamos usar as fórmulas
a0=1Lintegral-L^Lf(x),dx, an=1Lintegral-L^Lf(x)cos!l(tfracnpiLxr),dx, bn=1Lintegral-L^Lf(x)sin!l(tfracnpiLxr),dx

Passo 2

Calcular a0. Como f(x)=1 em -L<x<0 e zero em (0,L),
a0=1Ll(integral-L^01,dx+integral0^L0,dxr) =1Ll[,xr]-L^0 =1Lcdot L =1
Logo o termo constante é tfraca02=tfrac12.

Passo 3

Calcular an.
an =1Lintegral-L^Lf(x)cos!l(tfracnpiLxr),dx =1Lintegral-L^0cos!l(tfracnpiLxr),dx
Fazendo a primitiva,
integralcos!l(tfracnpiLxr),dx =Lnpisin!l(tfracnpiLxr),
então
an =1LcdotLnpil[sin!l(tfracnpiLxr)r]x=-L^0 =1npil(sin0-sin(-npi)r) =1npil(0-(-sin npi)r) =sin npinpi=0
Portanto todos os an valem zero.

Passo 4

Calcular bn.
bn =1Lintegral-L^0sin!l(tfracnpiLxr),dx
A primitiva é
integralsin!l(tfracnpiLxr),dx =-Lnpicos!l(tfracnpiLxr),
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bn =1Ll(-Lnpir)l[cos!l(tfracnpiLxr)r]x=-L^0 =-1npil(cos0-cos(-npi)r) =-1npil(1-(-1)^nr)
Isto dá
bn= 0,&n par, -tfrac2npi,&n ímpar í

Passo 5

Substituindo na série geral só sobra o termo constante e os senos de ordem ímpar:
f(x) =12 +sumk=0^inftyb2k+1,sin!l(tfrac(2k+1)piLxr),
onde b2k+1=-tfrac2(2k+1)pi. Assim
f(x) =12 -2pisumk=0^infty12k+1 sin!l(tfrac(2k+1)piLxr)

Resposta

boxed F(f)(x) =12 -2pisumk=0^infty12k+1 sin!l((2k+1)piLxr)

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