Encontre o polinômio de Taylor T6(f)(x) de grau 6, centrado no ponto indicado, para as funções seguintes
f(x)=x+e^-x, x0=0

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau 6, centrado em x0=0, para a função
f(x)=x+e^-x
Para isso vamos usar a fórmula
T6(f)(x)=sumk=0^6f^(k)(0)k!,x^k,
logo precisamos calcular as derivadas de f até a sexta ordem e avaliá-las em 0.

Passo 2

Calculemos as derivadas de f(x)=x+e^-x:
f(x)&=x+e^-x, f'(x)&=1 - e^-x, f''(x)&=e^-x, f^(3)(x)&=-e^-x, f^(4)(x)&=e^-x, f^(5)(x)&=-e^-x, f^(6)(x)&=e^-x

Passo 3

Avaliamo agora em x=0, sabendo que e^0=1:
f(0)&=0+1=1, f'(0)&=1-1=0, f''(0)&=1, f^(3)(0)&=-1, f^(4)(0)&=1, f^(5)(0)&=-1, f^(6)(0)&=1

Passo 4

Substituindo na fórmula de Taylor:
T6(f)(x) =sumk=0^6f^(k)(0)k!,x^k =1+01!x+12!x^2+-13!x^3+14!x^4+-15!x^5+16!x^6

Resposta

T6(f)(x) =1+x^22-x^36+x^424-x^5120+x^6720

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