Encontre a serie de Fourier
F(f)(x)=a02+sumn=1^infty(an cos (n piL x)+bn sin (n piL x))
Para as funções seguintes
f(x)=cc x, & -pi<x<0 0, & 0<x<pi
com f(x+2 pi)=f(x).

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período
estendida com , logo a forma geral da série é
com

Passo 2

Calcular a0:
a0 =1pil(integral-pi^0x,dx+integral0^pi0,dxr) =1pil[tfracx^22r]x=-pi^0 =1pil(0-tfracpi^22r) =-pi2
Então
a02=-pi4

Passo 3

Calcular an para n>=1:
an =1piintegral-pi^0xcos(nx),dx
Usamos integração por partes com
,u=x, ,dv=cos(nx),dx, ,du=dx, ,v=tfrac1nsin(nx).
Então
integral xcos(nx),dx =xsin(nx)n -integralsin(nx)n,dx =xsin(nx)n+cos(nx)n^2
Avaliando de -pi a 0:
l[tfracxsin(nx)n+tfraccos(nx)n^2r]-pi^0 =l(0+tfrac1n^2r) -l(0+tfrac(-1)^nn^2r) =1-(-1)^nn^2
Multiplicando por 1/pi
an=1-(-1)^npi,n^2 = 2pi,n^2,&n ímpar, 0,&n par í

Passo 4

Calcular bn para n>=1:
bn =1piintegral-pi^0xsin(nx),dx
Integramos por partes com
,u=x, ,dv=sin(nx),dx, ,v=-tfrac1ncos(nx):
integral xsin(nx),dx =-xcos(nx)n +integralcos(nx)n,dx =-xcos(nx)n+sin(nx)n^2
Avaliando de -pi a 0:
l[-tfracxcos(nx)n+tfracsin(nx)n^2r]-pi^0 =l(0+0r) -l(tfracpi(-1)^nn+0r) =-pi(-1)^nn
Então
bn =1pil(-pi(-1)^nnr) =-(-1)^nn =(-1)^n+1n

Passo 5

Juntando tudo, a série de Fourier fica

Resposta

boxed f(x) =-pi4 +sumk=1^infty2pi,(2k-1)^2cosl((2k-1)xr) +sumn=1^infty(-1)^n+1n,sin(nx)

Exercícios relacionados