Calcule os seguintes limites
lim x 0 cos ^2(x)-1x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando x se aproxima de 0 da expressão cos^2(x) - 1x^2 . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas, especialmente envolvendo o cosseno e o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador. Sabemos que cos^2(x) - 1 pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
cos^2(x) - 1 = -sin^2(x)
Então, nossa expressão original fica:
cos^2(x) - 1x^2 = -sin^2(x) x^2

Passo 3

Agora, podemos reescrever a fração para facilitar o cálculo do limite:
-sin^2(x) x^2 = - ( sin(x)x )^2
Isso porque sin^2(x)x^2 = ( sin(x)x )^2 .

Passo 4

Sabemos de um resultado importante em limites que:
limx to 0 sin(x)x = 1
Então, elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
( limx to 0 sin(x)x )^2 = 1^2 = 1
Portanto,
limx to 0 - ( sin(x)x )^2 = -1

Resposta

O limite é igual a -1.

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