Calcule os seguintes limites:
lim x 0 1-raizx+13-raiz[3]x+27

Passo 1

O enunciado pede
limxto 01-raizx+13-raiz[3]x+27
que é uma indeterminação do tipo tfrac00. Vamos usar racionalização no numerador e fatoração de diferença de cubos no denominador.

Passo 2

Substituindo x=0 diretamente, o numerador fica 1-raiz1=0 e o denominador fica 3-raiz[3]27=0, confirmando a forma indeterminada tfrac00.

Passo 3

Racionalizamos o numerador pelo conjugado 1+raizx+1:
1-raizx+1 =(1-raizx+1)(1+raizx+1)1+raizx+1 =1-(x+1)1+raizx+1 =-x1+raizx+1

Passo 4

Fatoramos o denominador como diferença de cubos com a=3 e b=raiz[3]x+27:
3-raiz[3]x+27 =3^3-(x+27)3^2+3raiz[3]x+27+(raiz[3]x+27)^2 =27-(x+27)9+3raiz[3]x+27+(raiz[3]x+27)^2 =-x9+3raiz[3]x+27+(raiz[3]x+27)^2

Passo 5

Substituindo no limite,
1-raizx+13-raiz[3]x+27 =-x/(1+raizx+1)-x/l(9+3raiz[3]x+27+(raiz[3]x+27)^2r) =9+3raiz[3]x+27+(raiz[3]x+27)^21+raizx+1
Agora xto0 dá numerador 9+3cdot3+3^2=27 e denominador 1+1=2.

Resposta

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