Calcule os seguintes limites:
lim x 1 raizx-raiz[3]xraiz[3]x-raiz[5]x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede para calcular o limite da seguinte expressão quando x se aproxima de 1:
limx 1 raizx - raiz[3]xraiz[3]x - raiz[5]x
O conteúdo que vamos usar aqui é de limites, mais especificamente técnicas para resolver limites que resultam em uma forma indeterminada, tipo 00 . Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e a regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta útil para esses casos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 1 diretamente na expressão para ver o que acontece:
raiz1 - raiz[3]1raiz[3]1 - raiz[5]1 = 1 - 11 - 1 = 00
Como obtivemos 00 , isso significa que temos uma forma indeterminada. Quando isso acontece, a regra de L’Hôpital é uma boa opção para resolver o limite.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que, se temos:
limx a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty
Então podemos calcular:
limx a f'(x)g'(x)
Aplicando isso no nosso caso, vamos primeiro encontrar as derivadas do numerador e do denominador.
Vamos chamar:
f(x) = raizx - raiz[3]x = x^1/2 - x^1/3
g(x) = raiz[3]x - raiz[5]x = x^1/3 - x^1/5
Agora, vamos calcular as derivadas:
Para f(x) :
f'(x) = ddx ( x^1/2 ) - ddx ( x^1/3 ) = 12x^-1/2 - 13x^-2/3
Para g(x) :
g'(x) = ddx ( x^1/3 ) - ddx ( x^1/5 ) = 13x^-2/3 - 15x^-4/5

Passo 4

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:
limx 1 f'(x)g'(x) = limx 1 12x^-1/2 - 13x^-2/3 13x^-2/3 - 15x^-4/5
Vamos substituir x = 1 nessa nova expressão:
12(1)^-1/2 - 13(1)^-2/3 13(1)^-2/3 - 15(1)^-4/5 = 12 - 13 13 - 15 = 3 - 26 5 - 315 = 16 215 = 16 times 152 = 1512 = 54

Resposta

O limite é 54 .

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