Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede para calcular o limite da seguinte expressão quando
se aproxima de 1:
O conteúdo que vamos usar aqui é de limites, mais especificamente técnicas para resolver limites que resultam em uma forma indeterminada, tipo
. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e a regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta útil para esses casos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Como obtivemos
, isso significa que temos uma forma indeterminada. Quando isso acontece, a regra de L’Hôpital é uma boa opção para resolver o limite.
Passo 3
A regra de L’Hôpital diz que, se temos:
Então podemos calcular:
Aplicando isso no nosso caso, vamos primeiro encontrar as derivadas do numerador e do denominador.
Vamos chamar:
Agora, vamos calcular as derivadas:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:
Vamos substituir
nessa nova expressão:
Resposta
O limite é
.