Calcule os seguintes limites:
lim x +infty(1+1x)^x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcular:
limx +infty(1+1x)^x+2
Aqui, estamos trabalhando com limites, uma parte fundamental do cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções quando a variável se aproxima de um valor específico, nesse caso, o infinito positivo. Para resolver isso, vamos usar o conceito do número e, que surge naturalmente em limites envolvendo potências e expoentes.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. Observe que podemos separar o expoente x + 2 em duas partes:
(1+1x)^x+2 = (1+1x)^x cdot (1+1x)^2
Isso ajuda a dividir o problema em partes menores e mais fáceis de manejar.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte separadamente. Começando com:
(1+1x)^x
Sabemos que:
limx +infty(1+1x)^x = e
Esse é um limite clássico que define o número e, onde e approx 2,71828.

Passo 4

Em seguida, analisamos a segunda parte:
(1+1x)^2
Quando x tende ao infinito, 1x tende a 0. Portanto:
limx +infty(1+1x)^2 = (1 + 0)^2 = 1

Passo 5

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
limx +infty(1+1x)^x+2 = limx +infty(1+1x)^x cdot limx +infty(1+1x)^2 = e cdot 1 = e

Resposta

O limite é igual a e.

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