Determine os volumes dos sólidos nos exercícios 3-12.
O sólido situa-se entre planos perpendiculares ao eixo x em x=-raiz2/2 e x=raiz2/2. As seções transversais perpendiculares ao eixo x são círculos cujos diâmetros se estendem do eixo x à curva y=2/raiz[4]1-x^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um sólido cujas seções transversais perpendiculares ao eixo x são círculos de diâmetro que vai do eixo x até a curva
y = 2raiz[4]1 - x^2,
e que está compreendido entre x = -raiz2/2 e x = raiz2/2.
Para resolver, vamos usar o método dos discos/capítulos: escrevemos a área de cada seção como função de x e integramos de -raiz2/2 a raiz2/2.

Passo 2

Em cada x, o diâmetro do círculo é
D(x) ;=; 2raiz[4]1 - x^2
Logo, o raio é
r(x) ;=;D(x)2 ;=;1raiz[4]1 - x^2
A área dessa seção é
A(x) ;=;pil[r(x)r]^2 ;=;pi 1raiz1 - x^2

Passo 3

O volume é dado por
V ;=;integral-raiz2/2^raiz2/2 A(x),dx ;=;pi integral-raiz2/2^raiz2/2 dxraiz1 - x^2
Sabendo que
integral dxraiz1 - x^2 = arcsin(x),
temos
V = pil[arcsin(x)r]-raiz2/2^raiz2/2 =pil(arcsin(tfracraiz22) - arcsin(-tfracraiz22)r)

Passo 4

Como arcsin(raiz2/2)=pi/4 e arcsin(-raiz2/2)=-pi/4, resulta
V = pil(tfracpi4 - (-tfracpi4)r) = picdottfracpi2 = pi^22

Resposta

pi^22

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