Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Esse exercício envolve conceitos de limites e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar o logaritmo natural para simplificar a expressão e facilitar o cálculo do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o limite que queremos encontrar de
:
Para simplificar, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados. Isso ajuda porque o logaritmo transforma potências em multiplicações, o que é mais fácil de trabalhar:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos simplificar a expressão dentro do limite:
Agora, temos uma forma que nos lembra o limite fundamental
.
Passo 4
Vamos ajustar a expressão para usar esse limite conhecido. Observe que:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, usamos a substituição
, e sabemos que
.
Resposta
Agora, voltando do logaritmo:
Então, o limite é
.