Calcule os seguintes limites:
lim x 0(1+2 x)^1 / x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando x se aproxima de 0 da expressão (1 + 2x)^1/x . Esse exercício envolve conceitos de limites e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar o logaritmo natural para simplificar a expressão e facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o limite que queremos encontrar de L :
L = limx to 0 (1 + 2x)^1/x
Para simplificar, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados. Isso ajuda porque o logaritmo transforma potências em multiplicações, o que é mais fácil de trabalhar:
ln L = ln ( limx to 0 (1 + 2x)^1/x ) = limx to 0 ln ( (1 + 2x)^1/x )

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz ln(a^b) = b cdot ln(a) , podemos simplificar a expressão dentro do limite:
ln L = limx to 0 1x cdot ln(1 + 2x)
Agora, temos uma forma que nos lembra o limite fundamental limx to 0 ln(1 + x)x = 1 .

Passo 4

Vamos ajustar a expressão para usar esse limite conhecido. Observe que:
ln L = limx to 0 ln(1 + 2x)x
Podemos reescrever isso como:
ln L = 2 cdot limx to 0 ln(1 + 2x)2x = 2 cdot 1 = 2
Aqui, usamos a substituição u = 2x , e sabemos que limu to 0 ln(1 + u)u = 1 .

Resposta

Agora, voltando do logaritmo:
L = e^ln L = e^2
Então, o limite é e^2 .

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