Determine os volumes dos sólidos nos exercícios 3-12.
O sólido situa-se entre planos perpendiculares ao eixo x em x=-raiz2/2 e x=raiz2/2. As seções transversais perpendiculares ao eixo x são quadrados cujas diagonais se estendem do eixo x à curva y=2/raiz[4]1-x^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um sólido cujas fatias transversais, obtidas por planos perpendiculares ao eixo x, são quadrados. O sólido está limitado pelas retas x=-tfracraiz22 e x=tfracraiz22 e pela curva
y = 2raiz[4],1 - x^2,
Para resolver, usaremos o método de seções transversais, em que
V = integrala^b A(x),dx
e A(x) é a área de cada quadrado em função de x.

Passo 2

Em cada plano x=const, a diagonal do quadrado vai do eixo x (ou seja, y=0) até a curva y(x). Logo a diagonal vale
d(x) = y(x) - 0 = 2raiz[4],1 - x^2,
Como a área de um quadrado de diagonal d é
A = d^22,
temos
A(x) = 12l(2raiz[4],1 - x^2,r)^2 = 12,4raiz,1 - x^2, = 2raiz,1 - x^2,

Passo 3

O volume é
V = integral-raiz22^raiz22 A(x),dx = integral-raiz22^raiz22 2raiz,1 - x^2,,dx

Passo 4

Usamos a primitiva integral dxraiz1-x^2 = arcsin(x). Assim,
V = 2l[arcsin(x)r]-raiz22^raiz22 = 2l(arcsin(tfracraiz22) - arcsin(-tfracraiz22)r) = 2l(tfracpi4 - (-tfracpi4)r) = 2cdottfracpi2 = pi

Resposta

pi

Exercícios relacionados