Nos exercícios 39-44, determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas retas e curvas.
y=x, y=1, x=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região do primeiro quadrante limitada por
;y=x,;y=1 e ;x=0.
O conteúdo da matéria é o cálculo de volumes por anéis (método dos discos com furo), que exige identificar raios interno e externo e integrar a área transversal ao longo de x.

Passo 2

Para encontrar os limites em x, achamos a interseção de y=x com y=1. Igualando, x=1. Como também temos x=0, o domínio de integração é
0 <= x <= 1

Passo 3

Em cada x fixo, a região vai de y=x (parte inferior) até y=1 (parte superior). Ao girar em torno do eixo x, obtemos um anel de raio externo
R(x)=1
e raio interno
r(x)=x

Passo 4

Pelo teorema dos discos com furo, o volume é
V = integral0^1 pil[R(x)^2 - r(x)^2r],dx = pi integral0^1 l(1^2 - x^2r),dx = pi integral0^1 (1 - x^2),dx

Passo 5

Calculando a integral, temos
integral0^1 (1 - x^2),dx = l[x - tfracx^33r]0^1 = l(1 - tfrac13r) - 0 = tfrac23
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V = pi cdot tfrac23 = tfrac2pi3

Resposta

V = tfrac2pi3

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