Considere R a região delimitada pelas curvas y=x^4 e y=1.
A área da região R.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Cálculo que pede para encontrar a área da região R delimitada pelas curvas y = x^4 e y = 1. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre integrais definidas e como calcular a área entre duas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Isso significa encontrar os valores de x que satisfazem x^4 = 1.
x^4 = 1 Rightarrow x = pm1
Então, as curvas se cruzam nos pontos x = -1 e x = 1. Esses serão os limites de integração que vamos usar para calcular a área.

Passo 3

Agora, precisamos entender qual das duas curvas está por cima no intervalo entre -1 e 1. Olhando para as funções:
  • Para qualquer x nesse intervalo, y = 1 está acima de y = x^4 porque x^4 sempre será menor ou igual a 1.
Isso nos ajuda a montar a fórmula da área entre as curvas.

Passo 4

A fórmula para a área entre duas curvas y = f(x) e y = g(x) de a a b é:
Área = integrala^b [f(x) - g(x)] , dx Á
No nosso caso, f(x) = 1 e g(x) = x^4, então:
Área = integral-1^1 (1 - x^4) , dx Á

Passo 5

Vamos calcular essa integral passo a passo:
  1. Integrar cada termo separadamente:
integral (1 - x^4) , dx = integral 1 , dx - integral x^4 , dx
  1. Calcular as integrais:
integral 1 , dx = x
integral x^4 , dx = x^55
  1. Substituir na expressão:
integral-1^1 (1 - x^4) , dx = [ x - x^55 ]-1^1
  1. Avaliar nos limites de integração:
  • Para x = 1:
1 - 1^55 = 1 - 15 = 45
  • Para x = -1:
-1 - (-1)^55 = -1 - (-15) = -1 + 15 = -45
  1. Calcular a diferença:
45 - (-45) = 45 + 45 = 85

Resposta

A área da região R é 85 unidades de área.

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