Calcule os seguintes limites:
lim x infty(x+1x)^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que quer saber o que acontece com (x+1x)^x quando x vai para infinito. Esse tipo de problema está ligado ao estudo de limites e exponenciais, especialmente relacionada ao número e. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e lembrar como e é definido.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite. A expressão x+1x pode ser reescrita assim:
x+1x = 1 + 1x
Isso porque dividindo cada termo do numerador por x, temos:
xx + 1x = 1 + 1x

Passo 3

Agora, substituímos de volta na expressão do limite:
limx to infty (1 + 1x)^x
Esse limite é uma forma conhecida que define o número e, que é uma constante matemática importante, aproximadamente igual a 2,71828.

Passo 4

A definição de e é exatamente:
e = limn to infty (1 + 1n)^n
Comparando com o nosso limite, vemos que são iguais, apenas usando x no lugar de n. Portanto, o limite que estamos calculando é igual a e.

Resposta

O limite é igual a e.

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