Sabe-se que o campo F(x, y)=(e^x+y+1) imath+(e^x+y) J é um campo conservativo em R^2.
Calcule ointC F cdot d r onde C é o arco de circunferência (x-1)^2+(y-12)^2=14, com x >= 1 que vai de (1,0) a ( 1,1 ).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial conservativo definido por F(x, y) = (e^x+y + 1)imath + (e^x+y)J. O exercício quer que a gente calcule a integral de linha ointC F cdot dr, onde C é um arco de circunferência dado por (x-1)^2 + (y - 12)^2 = 14, com x >= 1, indo de (1,0) a (1,1). Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente relacionados a campos conservativos e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial F é conservativo se existe uma função potencial phi tal que F = nabla phi. Uma propriedade importante de campos conservativos é que a integral de linha sobre qualquer caminho fechado é zero, ou seja, ointC F cdot dr = 0.

Passo 3

No nosso caso, a integral que precisamos calcular é uma integral fechada, indicada pelo símbolo oint, sobre o caminho C. Sabendo que F é um campo conservativo, podemos aplicar diretamente a propriedade mencionada: a integral de linha sobre um caminho fechado em um campo conservativo é sempre zero.

Resposta

ointC F cdot dr = 0

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