Seção 10.1
Calcule integralC x d x+y d y, onde C é o segmento de reta de (0,0) a (2,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha da forma diferencial
omega = x,dx + y,dy
ao longo do segmento de reta C que vai de (0,0) a (2,3).
Esse tipo de integral é de uma forma exata (ou conservativa), e vamos usar o fato de que existe uma função potencial phi(x,y) tal que dphi = omega.

Passo 2

Procuramos uma função phi(x,y) cuja diferencial seja
dphi = partial phipartial x,dx + partial phipartial y,dy
e queremos que isso seja igual a x,dx + y,dy.
Logo, basta tomar
phi(x,y) = 12l(x^2 + y^2r),
pois
partial phipartial x = x, partial phipartial y = y,
e assim
dphi = x,dx + y,dy

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental para formas exatas, a integral de omega ao longo de C é
integralC omega = phil(2,3r) ;-; phil(0,0r)
Calculando os valores:
phi(2,3) = tfrac12l(2^2 + 3^2r) = tfrac12l(4 + 9r) = tfrac132,
phi(0,0) = tfrac12l(0^2 + 0^2r) = 0
Portanto,
integralC x,dx + y,dy = 132

Resposta

132

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