Calcule os seguintes limites.
lim x 0 cos ^3 x cdot sen(5 x)x^2-5 x^2+10 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
lim x 0 cos^3 x cdot sin(5 x)x^2-5 x^2+10 x
Vamos trabalhar com limites, usando trigonometria e simplificação de expressões matemáticas. Precisamos entender como o numerador e o denominador se comportam quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador:
x^2 - 5x^2 + 10x = (-4x^2 + 10x)
Então, o limite fica:
lim x 0 cos^3 x cdot sin(5 x)-4x^2 + 10x

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte:
  • Numerador: cos^3 x cdot sin(5x)
  • Denominador: -4x^2 + 10x
Sabemos que quando x tende a 0:
  • cos x tende a 1, então cos^3 x também tende a 1.
  • sin(5x) pode ser aproximado por 5x , já que limx to 0 sin(kx)kx = 1 para qualquer constante k .

Passo 4

Vamos substituir essas aproximações no limite:
Numerador aproximado: 1 cdot 5x = 5x
Denominador: -4x^2 + 10x
Então, o limite fica:
lim x 0 5x-4x^2 + 10x

Passo 5

Agora, podemos fatorar o denominador:
-4x^2 + 10x = x(-4x + 10)
Então, o limite fica:
lim x 0 5xx(-4x + 10) = lim x 0 5-4x + 10

Passo 6

Com x tendendo a 0, substituímos x = 0 na expressão simplificada:
5-4(0) + 10 = 510 = 12

Resposta

O limite é 12 .

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