Calcule os seguintes limites.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
Vamos trabalhar com limites, usando trigonometria e simplificação de expressões matemáticas. Precisamos entender como o numerador e o denominador se comportam quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador:
Então, o limite fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada parte:
- Numerador:
- Denominador:
Sabemos que quando
tende a 0:
-
tende a 1, então também tende a 1. -
pode ser aproximado por , já que para qualquer constante .
Passo 4
Vamos substituir essas aproximações no limite:
Numerador aproximado:
Denominador:
Então, o limite fica:
Passo 5
Agora, podemos fatorar o denominador:
Então, o limite fica:
Passo 6
Com
tendendo a 0, substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é
.