Calcule os seguintes limites.
lim x 0 2 x sen x1-cos x

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite de 2x cdot sin x1 - cos x quando x se aproxima de 0. Aqui, estamos lidando com limites em funções trigonométricas, especificamente envolvendo seno e cosseno. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades básicas dos limites e identidades trigonométricas que nos ajudarão a simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando x é próximo de 0, temos as seguintes aproximações úteis:
sin x approx x e 1 - cos x approx x^22
Essas aproximações vêm das séries de Taylor para seno e cosseno e são válidas para valores de x próximos a 0.

Passo 3

Agora, vamos substituir essas aproximações na expressão original:
2x cdot sin x1 - cos x approx 2x cdot xx^22 = 2x^2x^22

Passo 4

Simplificando a fração:
2x^2x^22 = 2x^2 cdot 2x^2 = 4
Perceba que os x^2 se cancelam, deixando-nos com o número 4.

Resposta

O limite é igual a 4.

Exercícios relacionados