Determine uma equação da reta tangente à curva x^2-3 x^3 y^2+y^2-2 x=-9, no ponto (1, -2 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação da reta tangente à curva definida por x^2 - 3x^3y^2 + y^2 - 2x = -9 no ponto (1, -2). Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas implícitas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada de y em relação a x na curva dada. Como a equação envolve tanto x quanto y , vamos usar a derivada implícita. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x , lembrando que y é uma função de x .

Passo 3

Vamos derivar cada termo da equação x^2 - 3x^3y^2 + y^2 - 2x = -9 :
  1. Derivada de x^2 em relação a x é 2x .
  2. Derivada de -3x^3y^2 :
    • Usamos a regra do produto: derivada de -3x^3 vezes y^2 mais -3x^3 vezes a derivada de y^2 .
    • Derivada de -3x^3 é -9x^2 .
    • Derivada de y^2 é 2y cdot dydx .
    • Então fica -9x^2y^2 - 6x^3y cdot dydx .
  3. Derivada de y^2 é 2y cdot dydx .
  4. Derivada de -2x é -2 .
  5. O lado direito, derivada de -9 é 0.

Passo 4

Juntando todas as derivadas, temos:
2x - 9x^2y^2 - 6x^3y cdot dydx + 2y cdot dydx - 2 = 0
Agora, vamos isolar dydx :
(-6x^3y + 2y) cdot dydx = -2x + 9x^2y^2 + 2

Passo 5

Fatorando dydx :
dydx = -2x + 9x^2y^2 + 2-6x^3y + 2y

Passo 6

Agora, vamos substituir o ponto (1, -2) na derivada para encontrar o coeficiente angular da reta tangente:
dydxg|(1,-2) = -2(1) + 9(1)^2(-2)^2 + 2-6(1)^3(-2) + 2(-2)
Calculando numerador e denominador:
Numerador:
-2 + 9 cdot 1 cdot 4 + 2 = -2 + 36 + 2 = 36
Denominador:
-6 cdot 1 cdot (-2) + (-4) = 12 - 4 = 8
Então:
dydxg|(1,-2) = 368 = 92

Passo 7

Agora que temos o coeficiente angular m = 92 , podemos usar a equação da reta tangente na forma y = mx + b . Sabemos que a reta passa pelo ponto (1, -2), então vamos substituir esses valores para encontrar b :
-2 = 92(1) + b
-2 = 92 + b
b = -2 - 92 = -132

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto (1, -2) é:
y = 92x - 132

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