Determine uma equação da reta tangente à curva , no ponto (1, -2 ).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto (1, -2). Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas implícitas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a derivada de em relação a na curva dada. Como a equação envolve tanto quanto , vamos usar a derivada implícita. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a , lembrando que é uma função de .
Passo 3
Vamos derivar cada termo da equação :
Derivada de em relação a é .
Derivada de :
Usamos a regra do produto: derivada de vezes mais vezes a derivada de .
Derivada de é .
Derivada de é .
Então fica .
Derivada de é .
Derivada de é .
O lado direito, derivada de é 0.
Passo 4
Juntando todas as derivadas, temos:
Agora, vamos isolar :
Passo 5
Fatorando :
Passo 6
Agora, vamos substituir o ponto (1, -2) na derivada para encontrar o coeficiente angular da reta tangente:
Calculando numerador e denominador:
Numerador:
-2 + 9 cdot 1 cdot 4 + 2 = -2 + 36 + 2 = 36
Denominador:
-6 cdot 1 cdot (-2) + (-4) = 12 - 4 = 8
Então:
dydxg|(1,-2) = 368 = 92
Passo 7
Agora que temos o coeficiente angular m = 92 , podemos usar a equação da reta tangente na forma y = mx + b . Sabemos que a reta passa pelo ponto (1, -2), então vamos substituir esses valores para encontrar b :
-2 = 92(1) + b
-2 = 92 + b
b = -2 - 92 = -132
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto (1, -2) é: