Calcule os seguintes limites:
lim x -infty raizx^2+2 x-42 x+5

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x -infty raizx^2+2 x-42 x+5. Esse exercício envolve o conceito de limites no infinito, onde analisamos o comportamento de uma função quando x cresce sem limites positivos ou negativos. Para resolver, vamos manipular a expressão para facilitar a visualização do comportamento quando x tende a -infty.

Passo 2

Primeiro, observe a expressão dentro da raiz quadrada: x^2 + 2x - 4. Quando x tende a -infty, o termo x^2 domina os demais, pois cresce mais rápido. Então, podemos aproximar raizx^2 + 2x - 4 approx raizx^2 = |x|.

Passo 3

Como x está tendendo a -infty, x é negativo. Portanto, |x| = -x. Assim, a expressão raizx^2 + 2x - 4 pode ser aproximada por -x quando x -infty.

Passo 4

Agora, substituímos a aproximação na expressão original:
raizx^2+2 x-42 x+5 approx -x2x + 5
Para simplificar, fatoramos x no numerador e denominador:
-x2x + 5 = -12 + 5x

Passo 5

Analisando o limite da expressão -12 + 5x quando x -infty, percebemos que 5x tende a 0. Portanto, a expressão se simplifica para:
-12 + 0 = -12

Resposta

O limite é -12.

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