Seja f a função definida por:
f(x)=cc a-x^2, & se x>-2 b, & se x=-2 -x-2, & se x<-2
Determine os valores de a e b para que a função f seja contínua em x=-2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e queremos descobrir os valores de a e b para que a função seja contínua em x = -2. Isso está relacionado ao estudo de continuidade de funções, onde precisamos garantir que não haja “quebras” no gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em um ponto. Para isso, o limite da função quando x se aproxima de -2 pela esquerda ( x to -2^-) e pela direita ( x to -2^+) deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, f(-2).

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda. Quando x < -2, a função é dada por f(x) = -x - 2. Então:
limx to -2^- f(x) = limx to -2^- (-x - 2) = -(-2) - 2 = 2 - 2 = 0
Isso significa que o limite pela esquerda é 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita. Quando x > -2, a função é f(x) = a - x^2. Assim:
limx to -2^+ f(x) = limx to -2^+ (a - x^2) = a - (-2)^2 = a - 4
O limite pela direita é a - 4.

Passo 5

Sabemos que para a função ser contínua em x = -2, esses dois limites devem ser iguais ao valor da função em x = -2, que é b. Então, temos:
limx to -2^- f(x) = f(-2) Rightarrow 0 = b
limx to -2^+ f(x) = f(-2) Rightarrow a - 4 = b

Passo 6

Já descobrimos que b = 0. Substituindo esse valor na segunda equação:
a - 4 = 0 Rightarrow a = 4

Resposta

Os valores são a = 4 e b = 0.

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