Sabendo que o sistema X^prime=[ccc2 & 1 & 6 0 & 2 & 5 0 & 0 & 2] X, tem o autovalor lambda=2 com multiplicidade 3 (se repete 3 vezes), e que v1=(l1 0 0), v2=(l0 1 0), e v3=(c0 -6 / 5 1 / 5), são os autovetores associados à lambda=2, e foram determinados respectivamente nessa ordem.
Escreva a solução geral do sistema dado, em função dos autovetores e do autovalor.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
X' = A,X, A = 2 & 1 & 6 0 & 2 & 5 0 & 0 & 2 ,
com autovalor lambda=2 de multiplicidade algébrica 3 e cadeia de autovetores generalizados
v1=100, v2=010, v3=0-6/51/5
Para resolver, usamos a teoria de blocos de Jordan: cada vetor da cadeia gera uma solução da forma e^lambda t vezes polinômio em t.

Passo 2

Verificamos a cadeia de Jordan:
(A-2I)v2 =0&1&60&0&50&0&0 010 =100=v1,
(A-2I)v3 =0&1&60&0&50&0&0 0-6/51/5 =010=v2
Isto confirma que v1,v2,v3 é cadeia de comprimento 3.

Passo 3

Para uma cadeia de comprimento 3 com autovalor lambda, as soluções associadas são
X1(t)=e^lambda tv1, X2(t)=e^lambda tl(tv1+v2r), X3(t)=e^lambda tl(tfract^22v1+t,v2+v3r)

Passo 4

No nosso caso lambda=2, então as três soluções são
X1(t)=e^2tv1, X2(t)=e^2tl(t,v1+v2r), X3(t)=e^2tl(tfract^22v1+t,v2+v3r)
A combinação linear geral dá a solução geral do sistema.

Resposta

X(t) = C1,e^2tv1 + C2,e^2tl(t,v1+v2r) + C3,e^2tl(tfract^22v1+t,v2+v3r),
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

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