Calcule os seguintes limites:
lim x 2 e^xx^2-2 x

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse limite: lim x 2 e^xx^2-2 x. A gente vai usar conceitos de limites e entender como as funções se comportam perto do ponto que estamos analisando. Precisamos saber calcular limites e analisar os sinais das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de x diretamente na expressão para ver o que acontece:
e^22^2 - 2 cdot 2 = e^24 - 4 = e^20
Aqui, estamos dividindo por zero, o que significa que o limite pode tender para infinito ou menos infinito, dependendo do lado de onde x está se aproximando de 2.

Passo 3

Para entender melhor, vamos analisar o comportamento do denominador x^2 - 2x perto de x = 2. Podemos fatorar:
x^2 - 2x = x(x - 2)
Agora, vamos ver o sinal dessa expressão quando x se aproxima de 2 pela direita (valores maiores que 2) e pela esquerda (valores menores que 2).

Passo 4

Quando x se aproxima de 2 pela direita ( x to 2^+):
  • x é ligeiramente maior que 2, então x > 0.
  • x - 2 é ligeiramente positivo.
    Portanto, x(x - 2) é positivo.

Passo 5

Quando x se aproxima de 2 pela esquerda ( x to 2^-):
  • x ainda é positivo, já que está perto de 2.
  • x - 2 é ligeiramente negativo.
    Então, x(x - 2) é negativo.

Passo 6

Agora, olhemos para o numerador e^x. Sabemos que e^x é sempre positivo para qualquer valor de x.

Passo 7

Juntando as informações:
  • De x to 2^+: e^xx^2-2 x to positivopositivo = +infty
  • De x to 2^-: e^xx^2-2 x to positivonegativo = -infty

Passo 8

Como os limites laterais são diferentes ( +infty pela direita e -infty pela esquerda), o limite geral não existe.

Resposta

O limite lim x 2 e^xx^2-2 x não existe.

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