Calcule os seguintes limites
lim (x, y) (0,0) x^3+3 y^3raizx^3+3 y^3+1-1,

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0) x^3+3y^3raizx^3+3y^3+1-1.
Estamos lidando com uma função de duas variáveis, e o truque clássico é racionalizar o denominador, usando a conjugada.

Passo 2

Definimos
t = x^3 + 3y^3
Assim a expressão vira
traiz1+t-1.
Para “tirar” a raiz do denominador, multiplicamos numerador e denominador pela conjugada raiz1+t+1.

Passo 3

Multiplicando, obtemos
traiz1+t-1,cdot,raiz1+t+1raiz1+t+1 =t(raiz1+t+1)(raiz1+t)^2-1^2 =t(raiz1+t+1)t =raiz1+t+1

Passo 4

Quando (x,y)to(0,0), temos tto0. Logo a expressão simplificada tende a
raiz1+0+1=2.

Resposta

2

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