Calcule os seguintes limites
Para os itens de (e)-(g) utilize o primeiro limite fundamental; (h)-(n) não é pra fazer; (o)-® Teorema do Confronto.
lim (x, y) (0,3) y^2 sin (x^2)x^2,

Passo 1

Então, galera! A gente tem que calcular o limite da função lim (x, y) (0,3) y^2 sin (x^2)x^2 . Aqui, vamos usar o Teorema do Confronto, que ajuda a resolver limites complicados usando funções que a gente já conhece o comportamento. Vamos precisar entender como o seno funciona e como os limites se comportam quando as variáveis x e y se aproximam de certos valores.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar: y^2 e sin(x^2)x^2 . Sabemos que (x, y) está se aproximando de (0, 3), então vamos ver o que acontece com cada parte dessa função.

Passo 3

Vamos analisar y^2 quando y se aproxima de 3. Como y está indo para 3, y^2 vai para 3^2 = 9 . Fácil, né?

Passo 4

Agora, vamos olhar para sin(x^2)x^2 quando x se aproxima de 0. Aqui entra o Limite Fundamental: sabemos que limu to 0 sin(u)u = 1 . No nosso caso, u = x^2 , então quando x vai para 0, u também vai para 0. Portanto, sin(x^2)x^2 vai para 1.

Passo 5

Agora, juntando as duas partes que analisamos:
lim (x, y) (0,3) y^2 sin (x^2)x^2 = ( limy to 3 y^2 ) times ( limx to 0 sin(x^2)x^2 ) = 9 times 1 = 9

Resposta

O limite é igual a 9.

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