Calcule os seguintes limites
lim (x, y) (0,0) ln (x^3+1)sin ^3(x),

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0) lnl(x^3+1r)sin^3(x)
Como a expressão não depende de y, basta calcular
limxto0 lnl(1+x^3r)sin^3(x)

Passo 2

Para analisar o comportamento quando xto0, vamos usar as séries de Taylor de ln(1+u) em torno de u=0 e de sin(x) em torno de x=0.

Passo 3

A série de Taylor de ln(1+u) é
ln(1+u)=u - u^22 + o(u^2)
Tomando u=x^3, temos
lnl(1+x^3r)=x^3 - x^62 + o(x^6) = x^3 + o(x^3)

Passo 4

A série de Taylor de sin(x) é
sin(x)=x - x^36 + o(x^3)
Elevando ao cubo,
sin^3(x) =l(x - tfracx^36 + o(x^3)r)^3 = x^3 + o(x^3)

Passo 5

Substituindo nas séries, a fração vira
lnl(1+x^3r)sin^3(x) = x^3 + o(x^3)x^3 + o(x^3) ;longrightarrow;1 quando xto0

Resposta

1

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