Lembre que, para todo inteiro
,
Utilizando este fato, podemos calcular a soma
O resultado é da forma
para algum inteiro
. Qual?
Utilizando este fato, podemos calcular a soma
O resultado é da forma
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular uma soma envolvendo potências de 2 e produtos de números. A gente vai usar a fórmula da soma geométrica que é:
Para resolver esse exercício, vamos precisar entender sequências, somas e um pouco de álgebra para manipular os termos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a soma que precisamos calcular:
Observamos que cada termo da soma tem a forma
, onde
começa em 0 e vai até um certo número.
Passo 3
Vamos generalizar essa soma. Se chamarmos a soma total de S, temos:
Nosso objetivo é encontrar uma expressão fechada para S e identificar o valor de N tal que:
Passo 4
Para simplificar a soma, vamos expandir o termo
:
Então, a soma S fica:
Podemos dividir essa soma em três partes:
Passo 5
Vamos calcular cada uma dessas somas separadamente.
- Soma geométrica simples:
- Soma de
:
Usamos a fórmula:
- Soma de
:
Essa é um pouco mais complicada, mas a fórmula é:
Passo 6
Agora, substituindo essas fórmulas na expressão de S:
Passo 7
Agora, queremos que S seja da forma
. Comparando com a expressão que obtivemos, percebemos que para que os termos com
e
desapareçam, o único jeito é que
. Isso porque:
Simplificando:
Fatorando
:
Calculando:
Resposta
O valor de
é 165029.