Lembre que, para todo inteiro n >= 0,
1+x+x^2+x^3+cdots+x^n=x^n+1-1x-1
Utilizando este fato, podemos calcular a soma 2^0 cdot 1 cdot 2+2^1 cdot 2 cdot 3+2^2 cdot 3 cdot 4+2^3 cdot 4 cdot 5+cdots
O resultado é da forma N cdot 2^289-2 para algum inteiro N. Qual?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular uma soma envolvendo potências de 2 e produtos de números. A gente vai usar a fórmula da soma geométrica que é:
1 + x + x^2 + cdots + x^n = x^n+1 - 1x - 1
Para resolver esse exercício, vamos precisar entender sequências, somas e um pouco de álgebra para manipular os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a soma que precisamos calcular:
2^0 cdot 1 cdot 2 + 2^1 cdot 2 cdot 3 + 2^2 cdot 3 cdot 4 + 2^3 cdot 4 cdot 5 + cdots
Observamos que cada termo da soma tem a forma 2^k cdot (k+1) cdot (k+2), onde k começa em 0 e vai até um certo número.

Passo 3

Vamos generalizar essa soma. Se chamarmos a soma total de S, temos:
S = sumk=0^n 2^k cdot (k+1) cdot (k+2)
Nosso objetivo é encontrar uma expressão fechada para S e identificar o valor de N tal que:
S = N cdot 2^289 - 2

Passo 4

Para simplificar a soma, vamos expandir o termo (k+1) cdot (k+2):
(k+1)(k+2) = k^2 + 3k + 2
Então, a soma S fica:
S = sumk=0^n 2^k (k^2 + 3k + 2)
Podemos dividir essa soma em três partes:
S = sumk=0^n 2^kk^2 + 3sumk=0^n 2^kk + 2sumk=0^n 2^k

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas somas separadamente.
  1. Soma geométrica simples:
sumk=0^n 2^k = 2^n+1 - 12 - 1 = 2^n+1 - 1
  1. Soma de k cdot 2^k:
Usamos a fórmula:
sumk=0^n k cdot 2^k = 2 (2^n (n - 1) + 1)
  1. Soma de k^2 cdot 2^k:
Essa é um pouco mais complicada, mas a fórmula é:
sumk=0^n k^2 cdot 2^k = 2 (2^n (n^2 - 2n + 2) - 2)

Passo 6

Agora, substituindo essas fórmulas na expressão de S:
S &= 2 (2^n (n^2 - 2n + 2) - 2) + 3 cdot 2 (2^n (n - 1) + 1) + 2 (2^n+1 - 1) &= 2^n+1 (n^2 - 2n + 2) - 4 + 6 cdot 2^n (n - 1) + 6 + 2^n+2 - 2 &= 2^n+1n^2 - 4 cdot 2^nn + 4 cdot 2^n + 6 cdot 2^nn - 6 cdot 2^n + 2^n+2 - 2 &= 2^n+1n^2 + 2^nn + 2^n+2 - 2

Passo 7

Agora, queremos que S seja da forma N cdot 2^289 - 2. Comparando com a expressão que obtivemos, percebemos que para que os termos com n^2 e n desapareçam, o único jeito é que n = 287. Isso porque:
2^287+1 cdot 287^2 + 2^287 cdot 287 + 2^287+2 - 2 = N cdot 2^289 - 2
Simplificando:
N cdot 2^289 - 2 = 2^288 cdot 287^2 + 2^287 cdot 287 + 2^289 - 2
Fatorando 2^287:
N = 287^2 cdot 2 + 287 + 4
Calculando:
287^2 = 82369 N = 82369 cdot 2 + 287 + 4 = 164738 + 287 + 4 = 165029

Resposta

O valor de N é 165029.

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