Considere o polinômio
O mdc (máximo divisor comum) entre
e sua derivada
é
Resposta
O mdc (máximo divisor comum) entre
Resposta
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o máximo divisor comum (mdc) entre o polinômio
e sua derivada
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o mdc de dois polinômios e como calcular derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. A derivada de um polinômio é obtida derivando termo a termo. Então,
Passo 3
Agora, para encontrar o mdc entre
e
, usamos o algoritmo de Euclides para polinômios. Isso envolve dividir
por
e continuar com os restos até chegarmos a um polinômio que divide ambos sem resto.
Passo 4
Vamos fazer a primeira divisão:
dividido por
. Porém, como os cálculos podem ser complicados manualmente, observamos que
tem coeficientes simétricos, sugerindo que
ou
podem ser raízes. Testando
, por exemplo, vemos que
, o que significa que
é um fator comum.
Passo 5
Confirmando, substituímos
na derivada
:
Isso confirma que
também divide
, então
é o mdc entre
e
.