Considere o polinômio
f(x)=x^4-146 x^3+5330 x^2-146 x+5329
O mdc (máximo divisor comum) entre f(x) e sua derivada f^prime(x) é
Resposta
x-72
x-76
x-73
x-74
x-75

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o máximo divisor comum (mdc) entre o polinômio f(x) = x^4 - 146x^3 + 5330x^2 - 146x + 5329 e sua derivada f'(x) . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o mdc de dois polinômios e como calcular derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de f(x) . A derivada de um polinômio é obtida derivando termo a termo. Então,
f'(x) = 4x^3 - 438x^2 + 10660x - 146

Passo 3

Agora, para encontrar o mdc entre f(x) e f'(x) , usamos o algoritmo de Euclides para polinômios. Isso envolve dividir f(x) por f'(x) e continuar com os restos até chegarmos a um polinômio que divide ambos sem resto.

Passo 4

Vamos fazer a primeira divisão: f(x) dividido por f'(x) . Porém, como os cálculos podem ser complicados manualmente, observamos que f(x) tem coeficientes simétricos, sugerindo que x = 1 ou x = -1 podem ser raízes. Testando x = 73 , por exemplo, vemos que f(73) = 0 , o que significa que x - 73 é um fator comum.

Passo 5

Confirmando, substituímos x = 73 na derivada f'(x) :
f'(73) = 4(73)^3 - 438(73)^2 + 10660(73) - 146 = 0
Isso confirma que x - 73 também divide f'(x) , então x - 73 é o mdc entre f(x) e f'(x) .

Resposta

x - 73

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