Seja
alpha(x)=m x+c
a função afim que melhor aproxima a função
f(x)=e^6 x cdot(43 x+85)
em torno de x=0. Qual o valor de m+c ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar a soma m + c da função afim alpha(x) = m x + c que melhor aproxima a função f(x) = e^6x cdot (43x + 85) em torno de x = 0 . A matéria envolvida aqui é aproximação linear, que usa a função tangente para aproximar funções complicadas perto de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar calcular o valor da função no ponto x = 0 e sua derivada nesse mesmo ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de f(x) quando x = 0 . Isso vai nos dar o valor de c na função afim, já que alpha(0) = c .
f(0) = e^6 cdot 0 cdot (43 cdot 0 + 85)
f(0) = e^0 cdot (0 + 85)
f(0) = 1 cdot 85
f(0) = 85
Então, c = 85 .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de f(x) para encontrar f'(x) e, depois, avaliar em x = 0 para encontrar m .
Primeiro, calculamos f'(x) :
f(x) = e^6x cdot (43x + 85)
Para derivar essa função, usamos a regra do produto:
f'(x) = ddx(e^6x) cdot (43x + 85) + e^6x cdot ddx(43x + 85)
f'(x) = 6e^6x cdot (43x + 85) + e^6x cdot 43
f'(x) = e^6x cdot [6(43x + 85) + 43]
f'(x) = e^6x cdot (258x + 510 + 43)
f'(x) = e^6x cdot (258x + 553)
Agora, avaliamos f'(x) em x = 0 :
f'(0) = e^6 cdot 0 cdot (258 cdot 0 + 553)
f'(0) = e^0 cdot (0 + 553)
f'(0) = 1 cdot 553
f'(0) = 553
Então, m = 553 .

Resposta

O valor de m + c é 553 + 85 = 638 .

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