Seja R[x] o conjunto de polinômios na variável x com coeficientes em R. Lembre que uma função T: R[x] R[x] é uma transformação linear se ela leva combinações lineares em combinações lineares, ou seja, satisfaz
T(a p(x)+b q(x))=a T(p(x))+b T(q(x)) para quaisquer polinômios p(x), q(x) in R[x] e escalares a, b in R.
Dentre as seguintes funções T: R[x] R[x], qual delas NÃO é linear?

Passo 1

Vamos resumir o enunciado para entender melhor o que precisamos fazer. Temos o conjunto R[x], que consiste em todos os polinômios com coeficientes reais. Uma função T: R[x] R[x] é chamada de transformação linear se ela respeita a propriedade de linearidade. Isso significa que, para quaisquer polinômios p(x) e q(x) e quaisquer escalares a e b, a seguinte condição deve ser satisfeita:
T(a cdot p(x) + b cdot q(x)) = a cdot T(p(x)) + b cdot T(q(x))
No exercício, nos são apresentadas várias funções T e precisamos identificar qual delas NÃO é linear. Para resolver isso, vamos analisar cada função individualmente e verificar se ela atende ou não à propriedade de linearidade.

Passo 2

Vamos analisar a primeira função apresentada:
Função 1: T(p(x)) = p(x) + 1
Para verificar se essa transformação é linear, vamos testar a propriedade de linearidade.
Primeiro, consideremos dois polinômios quaisquer p(x) e q(x) e dois escalares a e b. Aplicando a transformação na combinação linear a cdot p(x) + b cdot q(x):
T(a cdot p(x) + b cdot q(x)) = (a cdot p(x) + b cdot q(x)) + 1
Agora, vamos calcular a cdot T(p(x)) + b cdot T(q(x)):
a cdot T(p(x)) + b cdot T(q(x)) = a cdot (p(x) + 1) + b cdot (q(x) + 1) = a cdot p(x) + a + b cdot q(x) + b
Comparando os dois resultados:
T(a cdot p(x) + b cdot q(x)) = a cdot p(x) + b cdot q(x) + 1
a cdot T(p(x)) + b cdot T(q(x)) = a cdot p(x) + b cdot q(x) + a + b
Para que a função seja linear, esses dois resultados devem ser iguais para quaisquer a e b. Porém, observamos que:
1 neq a + b
A menos que a + b = 1, o que não é garantido. Portanto, a função não satisfaz a propriedade de linearidade.

Passo 3

Embora já tenhamos identificado que a Função 1 não é linear, vamos verificar as demais para confirmar.
Função 2: T(p(x)) = 2p(x)
Aplicando a transformação na combinação linear a cdot p(x) + b cdot q(x):
T(a cdot p(x) + b cdot q(x)) = 2(a cdot p(x) + b cdot q(x)) = 2a cdot p(x) + 2b cdot q(x)
Calculando a cdot T(p(x)) + b cdot T(q(x)):
a cdot T(p(x)) + b cdot T(q(x)) = a cdot 2p(x) + b cdot 2q(x) = 2a cdot p(x) + 2b cdot q(x)
Os dois resultados são iguais, portanto, a Função 2 é linear.
Função 3: T(p(x)) = p'(x) (derivada de p(x))
Aplicando a transformação na combinação linear a cdot p(x) + b cdot q(x):
T(a cdot p(x) + b cdot q(x)) = (a cdot p(x) + b cdot q(x))' = a cdot p'(x) + b cdot q'(x)
Calculando a cdot T(p(x)) + b cdot T(q(x)):
a cdot T(p(x)) + b cdot T(q(x)) = a cdot p'(x) + b cdot q'(x)
Os dois resultados são iguais, portanto, a Função 3 é linear.

Resposta

A função que NÃO é linear é a Função 1: T(p(x)) = p(x) + 1.

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