Seja
o conjunto de polinômios na variável
com coeficientes em
. Lembre que uma função
é uma transformação linear se ela leva combinações lineares em combinações lineares, ou seja, satisfaz
para quaisquer polinômios
escalares
.
Dentre as seguintes funções
, qual delas NÃO é linear?
Dentre as seguintes funções
Passo 1
Vamos resumir o enunciado para entender melhor o que precisamos fazer. Temos o conjunto
, que consiste em todos os polinômios com coeficientes reais. Uma função
é chamada de transformação linear se ela respeita a propriedade de linearidade. Isso significa que, para quaisquer polinômios
e
e quaisquer escalares
e
, a seguinte condição deve ser satisfeita:
No exercício, nos são apresentadas várias funções
e precisamos identificar qual delas NÃO é linear. Para resolver isso, vamos analisar cada função individualmente e verificar se ela atende ou não à propriedade de linearidade.
Passo 2
Vamos analisar a primeira função apresentada:
Função 1:
Para verificar se essa transformação é linear, vamos testar a propriedade de linearidade.
Primeiro, consideremos dois polinômios quaisquer
e
e dois escalares
e
. Aplicando a transformação na combinação linear
:
Agora, vamos calcular
:
Comparando os dois resultados:
Para que a função seja linear, esses dois resultados devem ser iguais para quaisquer
e
. Porém, observamos que:
A menos que
, o que não é garantido. Portanto, a função não satisfaz a propriedade de linearidade.
Passo 3
Embora já tenhamos identificado que a Função 1 não é linear, vamos verificar as demais para confirmar.
Função 2:
Aplicando a transformação na combinação linear
:
Calculando
:
Os dois resultados são iguais, portanto, a Função 2 é linear.
Função 3:
(derivada de
)
Aplicando a transformação na combinação linear
:
Calculando
:
Os dois resultados são iguais, portanto, a Função 3 é linear.
Resposta
A função que NÃO é linear é a Função 1:
.