Calcule os seguintes limites
lim (x, y) (0,0) 1-cos (x^2+y^2)(x^2+y^2)^2,

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
lim(x,y)to(0,0)1-cosl(x^2+y^2r)l(x^2+y^2r)^2
Aqui o conteúdo é limite de função de duas variáveis, que costuma ser feito usando coordenadas polares e, para tratar o cosseno, uma expansão de Taylor.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = rcostheta, y = rsintheta,
logo x^2+y^2=r^2 e
1-cosl(x^2+y^2r)l(x^2+y^2r)^2 =1-cos(r^2)r^4

Passo 3

Para rto0 usamos a expansão de Taylor de cos(t) em torno de t=0:
cos(t)=1-t^22+ol(t^2r)
Substituindo t=r^2 vem
cos(r^2)=1-r^42+o(r^4),
então
1-cos(r^2)=r^42+o(r^4)
Dividindo por r^4 obtemos
1-cos(r^2)r^4 =12+o(r^4)r^4 ;longrightarrow;12

Passo 4

Como o resultado não depende de theta e o limite em rto0 vale tfrac12, concluímos que o limite original é tfrac12.

Resposta

12

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