Seja r(x) o resto da divisão de x^1977+77 x^438+499 por x^2-2 x+1. Calcule r^prime(1).

Passo 1

O enunciado define P(x)=x^1977+77,x^438+499 e quer o resto r(x) da divisão de P(x) por
x^2-2x+1=(x-1)^2
e, em seguida, o valor de r'(1). O conteúdo usado será o Teorema do Resto para raízes múltiplas e a relação entre derivadas.

Passo 2

Como estamos dividindo por (x-1)^2, o resto r(x) é um polinômio de grau menor que 2, logo
r(x)=a,x+b
para certas constantes a e b. Nosso objetivo é achar r'(1), e como r'(x)=a, basta determinar a.

Passo 3

Escrevemos
P(x)=(x-1)^2Q(x)+r(x)
Diferenciando ambos os lados,
P'(x)=2(x-1)Q(x)+(x-1)^2Q'(x)+r'(x)
Ao avaliar em x=1, os dois primeiros termos do lado direito se anulam, sobrando
P'(1)=r'(1)
Portanto
r'(1)=P'(1)

Passo 4

Calculamos
P'(x)=ddxl(x^1977+77,x^438+499r) =1977,x^1976+77cdot438,x^437
Note que
77cdot438=33726,
então
P'(x)=1977,x^1976+33726,x^437
e, em particular,
P'(1)=1977+33726=35703

Resposta

35703

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