Lembre que, para todo inteiro n >= 0,
1+x+x^2+x^3+cdots+x^n=x^n+1-1x-1
Utilizando este fato, podemos calcular a soma 2^0 cdot 1+2^1 cdot 2+2^2 cdot 3+2^3 cdot 4+cdots+2^121 cdot 12
O resultado é da forma A cdot 2^122+1 para certo inteiro A. Qual?

Passo 1

O enunciado pede a soma
S = 2^0cdot1 + 2^1cdot2 + 2^2cdot3 + cdots + 2^121cdot122,
isto é,
S = sumk=0^121(k+1),2^k
O conteúdo aqui é manipular séries geométricas e suas derivadas.

Passo 2

Definimos a função geradora
F(x) = sumk=0^121 x^k+1
Como é uma soma geométrica com termos de grau de 1 a 122, usamos
F(x) = x ,x^122-1x-1

Passo 3

Note que
F'(x) = sumk=0^121(k+1),x^k
Portanto a soma desejada é
S = F'(2)

Passo 4

Escrevemos
g(x) = x^122-1x-1,
logo F(x)=x,g(x) e
F'(x)=x,g'(x)+g(x)
Pela regra do quociente,
g'(x) = 122,x^121(x-1)-(x^122-1)cdot1(x-1)^2
Em x=2 isso fica
g'(2) =122cdot2^121-l(2^122-1r) =120cdot2^121+1,
e
g(2)=2^122-12-1=2^122-1

Passo 5

Agora
F'(2) =2cdot g'(2)+g(2) =2l(120cdot2^121+1r)+(2^122-1) =242cdot2^121+1 =121cdot2^122+1
Logo
S=121cdot2^122+1

Resposta

O valor de A é 121.

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