Calcule os seguintes limites
lim (x, y) (0,0) x^3+sin (2 x y)x,

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y)to(0,0) x^3+sin(2xy)x
O conteúdo é limite de função de duas variáveis: vamos usar a propriedade de limites (soma e produto) e o fato de
limuto0sin uu=1

Passo 2

Reescrevemos a fração em dois termos separados:
x^3+sin(2xy)x =x^3x+sin(2xy)x =x^2+sin(2xy)x

Passo 3

Analisamos o primeiro termo. Como x^2 é contínua e xto0 quando (x,y)to(0,0), temos
lim(x,y)to(0,0)x^2=0

Passo 4

Para o segundo termo, faça u=2xy. Então
sin(2xy)x =sin(u)u;cdot;2y
Quando (x,y)to(0,0) vem uto0, logo sin(u)/uto1 e 2yto0. Portanto
lim(x,y)to(0,0)sin(2xy)x =1cdot0=0

Passo 5

Pela soma dos limites dos dois termos:
lim(x,y)to(0,0)x^3+sin(2xy)x =0+0=0

Resposta

0

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