Calcule os seguintes limites
lim (x, y) (0,0) 1-cos (x y)x^2 y^2,

Passo 1

O enunciado pede o limite em duas variáveis
lim(x,y)to(0,0)1-cos(xy)x^2y^2
O conteúdo aqui é reduzir esse limite a um limite de uma única variável usando a substituição e depois aplicar a expansão de Taylor de cos ao redor de zero (ou o limite padrão limuto0(1-cos u)/u^2=1/2).

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = x,y
Note que quando (x,y)to(0,0) temos uto0, e também
x^2y^2=(xy)^2=u^2
Portanto a expressão fica
1-cos(xy)x^2y^2 =1-cos uu^2

Passo 3

Agora percebemos que é um limite de uma variável:
limuto01-cos uu^2
Pelo desenvolvimento de Taylor de cos u em u=0, temos
cos u = 1 - u^22 + o(u^2),
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1-cos u = u^22 + o(u^2) Longrightarrow 1-cos uu^2 to 12

Resposta

12

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