Calcule os seguintes limites
lim (x, y) (0,0)(1+x^2+y^2)^1x^2+y^2,

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0)l(1+x^2+y^2r)^tfrac1x^2+y^2.
Este é um limite de função de duas variáveis que se reduz a um limite univariado, usando a substituição
t = x^2+y^2,
e a propriedade conhecida
limtto0(1+t)^1/t=e.

Passo 2

Definindo t=x^2+y^2, temos tto0^+ quando (x,y)to(0,0). Então o limite vira
L = limtto0^+(1+t)^1/t
Para facilitar, analisamos o logaritmo:
ln L = limtto0^+ln(1+t)t

Passo 3

Usamos o fato de cálculo de limites
limuto0ln(1+u)u=1
Aqui u=t, logo ln L = 1. Assim
L = e^ln L = e^1 = e

Resposta

e

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