Determinar a resposta em frequência de um sistema linear invariante no tempo com entrada x(t) e saída y(t) relacionadas através da equação:
y(t)=d x(t)d t

Passo 1

O enunciado define um sistema LTI cujas entrada e saída são relacionadas por
y(t) = ddtx(t)
O conteúdo envolvido é a transformada de Fourier e, em particular, a propriedade que relaciona derivada no tempo com multiplicação por jomega no domínio da frequência.

Passo 2

Vamos calcular a transformada de Fourier de y(t). Pela definição,
Y(jomega)=integral-infty^inftyy(t),e^-jomega t,dt =integral-infty^inftyddtx(t),e^-jomega t,dt
Aplicando integração por partes (com u=e^-jomega t, dv=ddtx(t),dt) e assumindo que x(t) e e^-jomega t vão a zero nos limites, obtemos
Y(jomega)=jomegaintegral-infty^inftyx(t),e^-jomega t,dt =jomega,X(jomega)

Passo 3

Como em um sistema LTI temos sempre
Y(jomega)=H(jomega),X(jomega),
basta comparar com o resultado acima para identificar a resposta em frequência:
H(jomega)=jomega

Resposta

H(jomega)=jomega

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