Calcule os seguintes limites.
lim h pi2 sen(sen h-1)2 sen h-2

Passo 1

O enunciado pede o limite
limhtopi2sinl(sin h-1r)2sin h-2
Aqui temos uma expressão do tipo “ tfrac00”, então vamos usar a regra de L’Hôpital, que diz que se
limhto af(h)=0, limhto ag(h)=0, f,g diferenciáveis, á
então
limhto af(h)g(h) =limhto af'(h)g'(h)

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo :
Logo é mesmo .

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hôpital. Definimos
f(h)=sinl(sin h-1r), g(h)=2sin h-2
As derivadas são
f'(h) =cosl(sin h-1r)cdotddh(sin h-1) =cosl(sin h-1r)cdotcos h,
g'(h)=2cos h
Portanto
limhtopi2f(h)g(h) =limhtopi2 cos(sin h-1),cos h2cos h

Passo 4

Simplificamos o fator cos h (que é diferente de zero em vizinhanças de tfracpi2, exceto no ponto limite):
cos(sen h-1),cos h2cos h =cos(sen h-1)2

Passo 5

Basta agora avaliar em h=tfracpi2:
sen h-1l|h=pi2=1-1=0 Longrightarrow cos(sen h-1)l|h=pi2=cos0=1
Logo
limhtopi2cos(sen h-1)2 =12

Resposta

12

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