Calcule os seguintes limites.
lim x 0 3 x+x cos xsen(2 x) cos (3 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 0 3x + x cos xsin(2x) cos (3x)
Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente trabalhando com limites. Para resolver, vamos precisar entender como as funções trigonométricas se comportam quando o x se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente para simplificar a expressão.
No numerador temos 3x + x cos x . Podemos fatorar o x para ficar assim:
x(3 + cos x)
No denominador, temos sin(2x) cos(3x) . Aqui, a gente sabe que quando x está bem próximo de 0, funções trigonométricas têm comportamentos específicos:
  • sin(2x) se comporta aproximadamente como 2x porque sin(theta) approx theta quando theta está perto de 0.
  • cos(3x) se aproxima de 1, já que cos(0) = 1 e pequenas variações de x não mudam muito esse valor.
Então, substituindo essas aproximações, o denominador fica aproximadamente:
2x cdot 1 = 2x

Passo 3

Agora, substituímos essas simplificações na nossa expressão original:
x(3 + cos x)2x
Os x no numerador e no denominador cancelam:
3 + cos x2

Passo 4

Neste ponto, já podemos calcular o limite substituindo x por 0:
3 + cos 02
Sabemos que cos 0 = 1 , então:
3 + 12 = 42 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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