Calcule os seguintes limites.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente trabalhando com limites. Para resolver, vamos precisar entender como as funções trigonométricas se comportam quando o
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente para simplificar a expressão.
No numerador temos
. Podemos fatorar o
para ficar assim:
No denominador, temos
. Aqui, a gente sabe que quando
está bem próximo de 0, funções trigonométricas têm comportamentos específicos:
-
se comporta aproximadamente como porque quando está perto de 0. -
se aproxima de 1, já que e pequenas variações de não mudam muito esse valor.
Então, substituindo essas aproximações, o denominador fica aproximadamente:
Passo 3
Agora, substituímos essas simplificações na nossa expressão original:
Os
no numerador e no denominador cancelam:
Passo 4
Neste ponto, já podemos calcular o limite substituindo
por 0:
Sabemos que
, então:
Resposta
O limite é igual a 2.