Exercício 4. Considere a série tal que os termos são definidos recursivamente pelas equações
a1=2 an-1=5 n+14 n+3 an
Determine se sum an converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência an definida por
a1=2, an-1=5n+14n+3,an
e pede para determinar se a série sumn=1^inftyan converge ou diverge.
O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos aplicar o teste da razão, que é bem direto quando temos uma definição recursiva que fornece a razão entre termos consecutivos.

Passo 2

Invertendo a relação dada para expressar an/an-1, temos
an =4n+35n+1,an-1,
logo a razão entre termos consecutivos é
an+1an =4(n+1)+35(n+1)+1 =4n+75n+6

Passo 3

Aplicamos o teste da razão calculando
L =limntoinfty|an+1an| =limntoinfty4n+75n+6 =45
Como L=tfrac45<1, a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^inftyan converge.

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