Calcule os seguintes limites.
lim x 0 tg(3 x)(sen(4 x))^2

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limxto0tan(3x)l(sin(4x)r)^2
Observamos que, ao fazermos xto0, tanto tan(3x)to0 quanto sin(4x)to0, caracterizando uma forma indeterminada 0/0. O conteúdo de matéria envolvido é limites de funções trigonométricas e uso de equivalências infinitesimais.

Passo 2

Para uto0 vale a equivalência
tan usim u e sin usim u
Tomando u=3x e v=4x, temos ao aproximar-se de zero
tan(3x)sim3x e sin(4x)sim4x

Passo 3

Substituindo essas equivalências no quociente, obtemos
tan(3x)l(sin(4x)r)^2 sim 3x(4x)^2 = 3x16x^2 = 316x
À medida que xto0, o termo tfrac316x fica sem limite finito: diverge para +infty quando xto0^+ e para -infty quando xto0^-.

Resposta

O limite não existe como número finito.
Temos
limxto0^+tan(3x)l(sin(4x)r)^2=+infty, limxto0^-tan(3x)l(sin(4x)r)^2=-infty
e, portanto,
limxto0tan(3x)l(sin(4x)r)^2
não existe (diverge).

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