Calcule os seguintes limites.
lim x 0 raiz4+sen 3 x-raiz4-sen 3 xx

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão. Queremos calcular o limite quando x se aproxima de 0 da expressão:
limx 0 raiz4+sin 3x - raiz4 - sin 3xx
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem funções trigonométricas e raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de limites e propriedades de funções contínuas e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão no numerador. Temos duas raízes quadradas subtraídas uma da outra, o que pode ser um pouco complicado de lidar diretamente. Para simplificar, podemos usar a técnica de multiplicar e dividir pela conjugada do numerador. A conjugada de raiza - raizb é raiza + raizb .
Então, multiplicamos numerador e denominador por raiz4+sin 3x + raiz4 - sin 3x :
limx 0 raiz4+sin 3x - raiz4 - sin 3xx times raiz4+sin 3x + raiz4 - sin 3xraiz4+sin 3x + raiz4 - sin 3x

Passo 3

Agora, no numerador, usamos a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 :
limx 0 (4 + sin 3x) - (4 - sin 3x)x ( raiz4+sin 3x + raiz4 - sin 3x )
Simplificando o numerador:
4 + sin 3x - 4 + sin 3x = 2 sin 3x
Então, a expressão fica:
limx 0 2 sin 3xx ( raiz4+sin 3x + raiz4 - sin 3x )

Passo 4

Podemos separar os termos da seguinte forma:
2 cdot limx 0 sin 3xx cdot 1raiz4+sin 3x + raiz4 - sin 3x
Sabemos que limx 0 sin kxx = k , então limx 0 sin 3xx = 3 .

Passo 5

Agora, vamos avaliar o limite do denominador. Quando x se aproxima de 0, sin 3x também se aproxima de 0. Portanto:
raiz4 + sin 3x approx raiz4 + 0 = 2
raiz4 - sin 3x approx raiz4 - 0 = 2
Então, o denominador fica:
raiz4+sin 3x + raiz4 - sin 3x approx 2 + 2 = 4

Passo 6

Agora, substituímos os limites que encontramos na expressão:
2 cdot 3 cdot 14 = 64 = 32

Resposta

O limite é 32 .

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