Calcule os seguintes limites.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão. Queremos calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem funções trigonométricas e raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de limites e propriedades de funções contínuas e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão no numerador. Temos duas raízes quadradas subtraídas uma da outra, o que pode ser um pouco complicado de lidar diretamente. Para simplificar, podemos usar a técnica de multiplicar e dividir pela conjugada do numerador. A conjugada de
é
.
Então, multiplicamos numerador e denominador por
:
Passo 3
Agora, no numerador, usamos a identidade
:
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Podemos separar os termos da seguinte forma:
Sabemos que
, então
.
Passo 5
Agora, vamos avaliar o limite do denominador. Quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Portanto:
Então, o denominador fica:
Passo 6
Agora, substituímos os limites que encontramos na expressão:
Resposta
O limite é
.