Determine o valor-verdade das seguintes proposições
, tal que
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício tá pedindo. A gente tem a proposição: "Existe um número real
tal que
". O conteúdo aqui é sobre funções quadráticas e inequações. Vamos precisar entender o formato da função quadrática e como analisar se ela pode ser menor que zero para algum valor real de
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a função quadrática
. O gráfico dessa função é uma parábola. Como o coeficiente de
é positivo (1), sabemos que a parábola abre pra cima.
Passo 3
Para saber se essa parábola já chega a ficar abaixo do eixo
(ou seja, se
), a gente precisa calcular o discriminante da equação quadrática. O discriminante é dado por
.
Passo 4
Vamos identificar os coeficientes:
Agora, substituindo na fórmula do discriminante:
Passo 5
O discriminante
é negativo. Quando o discriminante é negativo, isso significa que a equação quadrática não tem raízes reais. Geometricamente, a parábola não corta o eixo
.
Passo 6
Como a parábola abre pra cima e não corta o eixo
, isso significa que ela está sempre acima do eixo
. Ou seja, para todo valor real de
,
é maior que zero.
Resposta
A proposição é falsa, ou seja, não existe nenhum número real
que satisfaça
.