Determine o valor-verdade das seguintes proposições
exists x in R, tal que x^2-3 x+5<0

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício tá pedindo. A gente tem a proposição: "Existe um número real x tal que x^2 - 3x + 5 < 0 ". O conteúdo aqui é sobre funções quadráticas e inequações. Vamos precisar entender o formato da função quadrática e como analisar se ela pode ser menor que zero para algum valor real de x .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a função quadrática f(x) = x^2 - 3x + 5 . O gráfico dessa função é uma parábola. Como o coeficiente de x^2 é positivo (1), sabemos que a parábola abre pra cima.

Passo 3

Para saber se essa parábola já chega a ficar abaixo do eixo x (ou seja, se f(x) < 0 ), a gente precisa calcular o discriminante da equação quadrática. O discriminante é dado por De<a = b^2 - 4ac .

Passo 4

Vamos identificar os coeficientes:
  • a = 1
  • b = -3
  • c = 5
Agora, substituindo na fórmula do discriminante:
De<a = (-3)^2 - 4 times 1 times 5 = 9 - 20 = -11

Passo 5

O discriminante De<a = -11 é negativo. Quando o discriminante é negativo, isso significa que a equação quadrática não tem raízes reais. Geometricamente, a parábola não corta o eixo x .

Passo 6

Como a parábola abre pra cima e não corta o eixo x , isso significa que ela está sempre acima do eixo x . Ou seja, para todo valor real de x , f(x) = x^2 - 3x + 5 é maior que zero.

Resposta

A proposição é falsa, ou seja, não existe nenhum número real x que satisfaça x^2 - 3x + 5 < 0 .

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