Calcule os seguintes limites:
lim x 0(cos x)^1x^2

Passo 1

Vamos calcular o limite limx 0 (cos x)^1x^2. Esse problema envolve conceitos de limites e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões que envolvem potências e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite usando logaritmos para simplificar a expressão. Sabemos que a^b = e^b ln a. Então, temos:
limx 0 (cos x)^1x^2 = limx 0 e^ln (cos x)x^2 = e^limx 0 ln (cos x)x^2

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite limx 0 ln (cos x)x^2. Para isso, vamos usar a expansão de Taylor para cos x:
cos x = 1 - x^22 + x^424 - dots

Passo 4

Tomando o logaritmo natural de cos x:
ln (cos x) = ln (1 - x^22 + O(x^4))
Para pequenos valores de x, podemos aproximar ln (1 + y) approx y - y^22, onde y = -x^22.

Passo 5

Aplicando a aproximação:
ln (cos x) approx -x^22 - 12 (-x^22)^2 = -x^22 - x^48
Portanto,
ln (cos x)x^2 approx -12 - x^28

Passo 6

Ao calcular o limite conforme x tende a 0:
limx 0 ln (cos x)x^2 = -12

Resposta

O limite é e^-12, ou seja, e^-1/2.

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