Determine m e n no polinômio 2 x^4+3 x^3+m x^2-n x-3 para que seja divisível pelo polinômio x^2-2 x-3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir os valores de m e n no polinômio 2x^4 + 3x^3 + mx^2 - nx - 3 de forma que ele seja divisível pelo polinômio x^2 - 2x - 3 . Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra, especificamente com divisibilidade de polinômios e o Teorema do Resto. Para resolver isso, vamos precisar encontrar condições que garantam que o polinômio principal seja múltiplo do divisor dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes do polinômio divisor x^2 - 2x - 3 . As raízes são os valores de x que fazem o polinômio igual a zero.
Para resolver x^2 - 2x - 3 = 0 , usamos a fórmula de Bhaskara:
x = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3)2 cdot 1 = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42
Isso nos dá duas raízes:
x = 2 + 42 = 3 e x = 2 - 42 = -1

Passo 3

Agora que sabemos que x = 3 e x = -1 são raízes do divisor, pelo Teorema do Resto, para que o polinômio 2x^4 + 3x^3 + mx^2 - nx - 3 seja divisível por x^2 - 2x - 3 , ele deve valer zero nessas duas raízes.
Primeiro, vamos substituir x = 3 no polinômio:
2(3)^4 + 3(3)^3 + m(3)^2 - n(3) - 3 = 0
Calculando:
2 cdot 81 + 3 cdot 27 + 9m - 3n - 3 = 0 162 + 81 + 9m - 3n - 3 = 0 240 + 9m - 3n = 0 Rightarrow 9m - 3n = -240
Podemos simplificar dividindo tudo por 3:
3m - n = -80 (Equação 1) çã

Passo 4

Agora, vamos substituir x = -1 no polinômio:
2(-1)^4 + 3(-1)^3 + m(-1)^2 - n(-1) - 3 = 0
Calculando:
2 cdot 1 + 3 cdot (-1) + m cdot 1 + n cdot 1 - 3 = 0 2 - 3 + m + n - 3 = 0 -4 + m + n = 0 Rightarrow m + n = 4 (Equação 2) çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
3m - n = -80 (Equação 1) m + n = 4 (Equação 2) çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações para eliminar n :
3m - n + m + n = -80 + 4 4m = -76 m = -19
Agora, substituímos m = -19 na Equação 2:
-19 + n = 4 n = 4 + 19 n = 23

Resposta

Os valores são m = -19 e n = 23 .

Exercícios relacionados