Calcule os seguintes limites:
lim x 0 x^2-2 x+2 ln (x+1)x^3

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limxto 0 x^2 - 2x + 2ln(1+x)x^3
Observamos que, para xto0, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, caracterizando uma forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar a expansão de Taylor de ln(1+x) até a ordem x^3.

Passo 2

A expansão de Taylor de ln(1+x) em torno de x=0 até a ordem x^3 é
ln(1+x) = x - x^22 + x^33 + O(x^4)

Passo 3

Substituindo essa expansão no numerador, temos
x^2 - 2x + 2ln(1+x) = x^2 - 2x + 2l(x - x^22 + x^33 + O(x^4)r)
Logo,
x^2 - 2x + 2ln(1+x) = x^2 - 2x + 2x - x^2 + 2x^33 + O(x^4) = 2x^33 + O(x^4)

Passo 4

Dividindo por x^3 e tomando xto 0, obtemos
x^2 - 2x + 2ln(1+x)x^3 = tfrac2x^33 + O(x^4)x^3 = 23 + O(x) ;longrightarrow; 23

Resposta

23

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