Calcule os seguintes limites:
lim x 0(1x-1e^x-1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0l(1x-1e^x-1r).
O conteúdo envolvido é limite de uma diferença que gera indeterminação do tipo infty-infty. Para resolver, vamos combinar as frações em uma só e usar a expansão em série de Taylor de e^x em torno de 0.

Passo 2

Escrevemos a expressão como uma única fração:
1x-1e^x-1 =(e^x-1)-x,x,(e^x-1),

Passo 3

Expandimos e^x-1 até a ordem x^2:
e^x-1 = x + x^22 + O(x^3)
Assim,
numerador = e^x-1 - x = x^22 + O(x^3),
denominador = x,(e^x-1) = x^2 + O(x^3)

Passo 4

Formamos a fração e extraímos o termo dominante:
x^22 + O(x^3)x^2 + O(x^3) ;xrightarrow[xto0]; tfrac121 =12
Logo o limite é tfrac12.

Resposta

12

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