Determine o intervalo onde as funções são contínuas. Justifique com os devidos cálculos.
(a)
(b) f(x)=raiz9-x^2x+2
Passo 1
O enunciado pede para determinar onde cada função é contínua. Para isso vamos: 1. Identificar o domínio e os ramos de cada função. 2. Observar que polinômios e raízes quadradas são contínuos em seu domínio interno. 3. Verificar nos pontos de transição (junções ou indetermina\c{c}~oes) se os limites laterais existem e coincidem com o valor da função.
e f(4)=4-6=-2. Como 0neq -2, há descontinuidade em x=4.
Passo 5
Concluímos para (a) que f é contínua em cada ramo interno, mas descontinua em -4 e em 4. Portanto
continuidade em (-infty,-4),cup,(-4,4),cup,(4,infty)
Passo 6
Agora o item (b):
f(x)=raiz9-x^2x+2
Para existir, precisamos
9-x^2>=0Longrightarrow -3<= x<=3,
e x+2neq0, ou seja, xneq -2. Logo o domínio é
[-3,-2),cup,(-2,3]
Passo 7
Dentro de cada intervalo aberto a função é quociente de funções contínuas (raiz9-x^2 e x+2neq0), logo contínua. Nas extremidades -3 e 3 temos denominador não nulo e numerador zero, então contínua por ser interior do ramo. Em x=-2 há divisão por zero, logo descontinuidade.
Passo 8
Concluímos para (b) que f é contínua exatamente em
[-3,-2),cup,(-2,3]
Resposta
(a) f é contínua em (-infty,-4)cup(-4,4)cup(4,infty).
(b) f é contínua em [-3,-2)cup(-2,3].