Determine o intervalo onde as funções são contínuas. Justifique com os devidos cálculos.
(a) f(x)=r-x-6, se x<-4 raiz16-x^2, se -4 <= x<4 x-6, se x >= 4
(b) f(x)=raiz9-x^2x+2

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde cada função é contínua. Para isso vamos:
1. Identificar o domínio e os ramos de cada função.
2. Observar que polinômios e raízes quadradas são contínuos em seu domínio interno.
3. Verificar nos pontos de transição (junções ou indetermina\c{c}~oes) se os limites laterais existem e coincidem com o valor da função.

Passo 2

Analisando o item (a),
f(x)= -x-6, & x<-4, raiz16-x^2, & -4<= x<4, x-6, & x>=4,
cada ramo é contínuo em seu intervalo interior porque:
-x-6 e x-6 são polinômios;
raiz16-x^2 é contínua em [-4,4].

Passo 3

Checamos a junção em x=-4.
limxto -4^-f(x)=limxto -4^-(-x-6)= -(-4)-6=4-6=-2,
limxto -4^+f(x)=limxto -4^+raiz16-x^2 =raiz16-(-4)^2=raiz0=0,
e f(-4)=raiz16-(-4)^2=0. Como -2neq0, há descontinuidade em x=-4.

Passo 4

Checamos a junção em x=4.
limxto 4^-f(x)=limxto 4^-raiz16-x^2 =raiz16-4^2=raiz0=0,
limxto 4^+f(x)=limxto 4^+(x-6)=4-6=-2,
e f(4)=4-6=-2. Como 0neq -2, há descontinuidade em x=4.

Passo 5

Concluímos para (a) que f é contínua em cada ramo interno, mas descontinua em -4 e em 4. Portanto
continuidade em (-infty,-4),cup,(-4,4),cup,(4,infty)

Passo 6

Agora o item (b):
f(x)=raiz9-x^2x+2
Para existir, precisamos
9-x^2>=0Longrightarrow -3<= x<=3,
e x+2neq0, ou seja, xneq -2. Logo o domínio é
[-3,-2),cup,(-2,3]

Passo 7

Dentro de cada intervalo aberto a função é quociente de funções contínuas ( raiz9-x^2 e x+2neq0), logo contínua. Nas extremidades -3 e 3 temos denominador não nulo e numerador zero, então contínua por ser interior do ramo. Em x=-2 há divisão por zero, logo descontinuidade.

Passo 8

Concluímos para (b) que f é contínua exatamente em
[-3,-2),cup,(-2,3]

Resposta

(a) f é contínua em (-infty,-4)cup(-4,4)cup(4,infty).
(b) f é contínua em [-3,-2)cup(-2,3].

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