Considere a função
Suponha que (f] satisfaça cada uma das condições abaixo.
Encontre os valores de e . Qual o valor do limite

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x,e^A x+b, & x<3, C(x-3)^2, & 3<= x<=5, dfrac130x, & x>5
e dá as condições
limxto3f(x)=f(3), limxto5^+f(x)=2+limxto5^-f(x), limxto-inftyf(x)=-4
Precisamos achar A, b (que o enunciado chama de B) e C, e em seguida calcular
limxto+inftyf(x),raiz[3]x^3+1

Passo 2

Para garantir limxto3f(x)=f(3) avaliamos
  • à esquerda de 3: limxto3^-f(x)=3e^3A+b.
  • em x=3: f(3)=C,(3-3)^2=0.
    Igualando:
3e^3A+b=0

Passo 3

Na condição em x=5 temos
limxto5^-f(x)=C,(5-3)^2=4C, limxto5^+f(x)=1305=26,
e a igualdade 26=2+4C
4C=24 Longrightarrow C=6

Passo 4

Para xto-infty usamos o ramo f(x)=x,e^Ax+b. Se A>0, então e^Axto0 rapidíssimo e x,e^Axto0, logo
limxto-inftyf(x)=b
Como esse limite deve ser -4, concluímos
b=-4 e A>0

Passo 5

Substituindo b=-4 em 3e^3A+b=0 obtemos
3e^3A=4 Longrightarrow e^3A=43 Longrightarrow A=13ln!l(tfrac43r)

Passo 6

Para xto+infty usamos f(x)=130/x e
raiz[3]x^3+1 =x,(1+1/x^3)^1/3 sim x
Então
f(x),raiz[3]x^3+1 =130x,cdot x,(1+1/x^3)^1/3 =130,(1+1/x^3)^1/3 longrightarrow130

Resposta

A=tfrac13ln!l(tfrac43r),
B=b=-4,
C=6,
limxto+inftyf(x),raiz[3]x^3+1=130

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